Задача
GEO-B3-M06-P016 Коллинеарность из синусов
Точки \(A_1,B_1,C_1\) лежат соответственно на прямых \(BC,CA,AB\). Известно, что в ориентированной форме тригонометрическое произведение Менелая равно \(-1\). Докажите, что \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны.
C. Подсказка 1. Переведите синусные отношения в отношения отрезков.
D. Подсказка 2. Затем примените обычную теорему Менелая.
Для каждой точки на стороне по теореме синусов в соответствующем малом треугольнике получаем равенство синусного отношения и отношения ориентированных отрезков на стороне.
По условию произведение синусных отношений равно \(-1\), значит произведение соответствующих отношений отрезков также равно \(-1\). По обратной теореме Менелая точки \(A_1,B_1,C_1\) лежат на одной прямой.
Задача закрепляет обратное направление trig Menelaus.