Задача
GEO-B3-M06-P017 Диагонали восемнадцатиугольника
В правильном \(18\)-угольнике докажите, что три диагонали, которые в подходящем треугольнике дают угловые пары \(10^\circ,70^\circ\), \(30^\circ,20^\circ\), \(40^\circ,10^\circ\), пересекаются в одной точке.
C. Подсказка 1. Переведите задачу в треугольник с тремя чевианами.
D. Подсказка 2. Дальше нужна ровно та же проверка trig Ceva, что для специальных углов.
Выберем треугольник, сторонами которого служат три хорды правильного \(18\)-угольника, так чтобы данные диагонали стали чевианами. Поскольку центральный угол равен \(20^\circ\), все углы между хордами выражаются половинами соответствующих дуг, то есть кратны \(10^\circ\).
По условию получаются пары углов \(10^\circ,70^\circ\), \(30^\circ,20^\circ\), \(40^\circ,10^\circ\). По trig Ceva: \[ \frac{\sin10^\circ}{\sin70^\circ}\cdot \frac{\sin30^\circ}{\sin20^\circ}\cdot \frac{\sin40^\circ}{\sin10^\circ}=1. \] Это тождество доказано через \(\sin70^\circ=\cos20^\circ\). Значит, диагонали конкурентны.
Это мост между тригонометрией и регулярными многоугольниками.