Задача
GEO-B3-M06-P024 Две формы одной секущей
В полном четырёхстороннике выберите треугольник из трёх прямых, а четвёртую прямую считайте секущей. Докажите, что тригонометрический Менелай для этой секущей не меняется, если вместо выбранного треугольника взять другой треугольник того же четырёхсторонника.
C. Подсказка 1. Сравните углы, которые одна и та же прямая образует с четырьмя сторонами.
D. Подсказка 2. Используйте, что лишние синусные множители сокращаются попарно.
Пусть четыре прямые образуют четыре треугольника. Выберем один из них и применим trig Menelaus к оставшейся прямой. В произведении появляются синусы углов между секущей и тремя сторонами выбранного треугольника.
Если выбрать соседний треугольник, одна сторона заменится другой прямой четырёхсторонника, а две остальные останутся теми же с противоположной ориентацией. Отношение новых и старых произведений состоит из пар \(\sin\theta/\sin(180^\circ-\theta)\), каждая из которых равна \(1\). Поэтому тригонометрическое условие Менелая инвариантно при выборе треугольника.
Это абстрактная задача на устойчивость метода, полезная перед проективными темами.