Задача
GEO-B3-M06-P023 Три чевианы с углами \(10^\circ\)
В треугольнике \(ABC\) углы равны \(50^\circ,60^\circ,70^\circ\). Из вершин проведены чевианы так, что они отсекают при соответствующих сторонах углы \(10^\circ,20^\circ,30^\circ\) в циклическом порядке. Докажите, что эти чевианы конкурентны, если порядок выбран так, что trig Ceva приводит к тождеству \(\sin10^\circ\sin20^\circ\sin80^\circ=\sin20^\circ\sin20^\circ\sin30^\circ\).
C. Подсказка 1. Сначала запишите trig Ceva, не пытаясь рисовать точку.
D. Подсказка 2. Докажите указанное тождество через \(\sin80^\circ=\cos10^\circ\) и формулы двойного угла.
По условию порядок углов выбран так, что trig Ceva сводится к проверке \[ \sin10^\circ\sin20^\circ\sin80^\circ=\sin20^\circ\sin20^\circ\sin30^\circ. \] Сократим \(\sin20^\circ\). Нужно доказать \(\sin10^\circ\sin80^\circ=\frac12\sin20^\circ\).
Так как \(\sin80^\circ=\cos10^\circ\), левая часть равна \(\sin10^\circ\cos10^\circ=\frac12\sin20^\circ\). Значит, условие trig Ceva выполнено, и чевианы конкурентны.
Хорошая олимпиадная тренировка: сложность в правильной раскладке углов, а не в длинной алгебре.