Задача
NT-B1-M01-P005 Нечетное число делителей
#5
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
Докажите, что натуральное число имеет нечетное количество положительных делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом.
Делители обычно разбиваются на пары \(d\) и \(\frac{n}{d}\).
Если \(d\mid n\), то вместе с \(d\) есть парный делитель \(\frac nd\). Разные делители образуют пары, кроме случая \(d=\frac nd\), то есть \(d^2=n\). Поэтому непарный делитель существует ровно тогда, когда \(n\) - квадрат. Следовательно, количество делителей нечетно ровно для полных квадратов.
Классический факт, полезный во многих модулях.