Задача
NT-B1-M01-P010 Три простых в арифметической прогрессии
#10
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все простые \(p\), для которых \(p\), \(p+4\), \(p+8\) также являются простыми числами.
Рассмотрите остатки этих трех чисел по модулю \(3\).
Если \(p>3\), то \(p\not\equiv0\pmod3\). При \(p\equiv1\pmod3\) число \(p+8\equiv0\pmod3\), а при \(p\equiv2\pmod3\) число \(p+4\equiv0\pmod3\). В обоих случаях одно из чисел больше \(3\) и делится на \(3\), значит, составное. Проверяем \(p=3\): получаем \(3,7,11\), все простые. Ответ: \(p=3\).
Показывает, что простые числа часто контролируются малыми модулями.