Задача
NT-B1-M01-P009 Делитель с параметром
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все целые \(n\), для которых \(n+3\mid n^2+n+1\).
По модулю \(n+3\) можно заменить \(n\) на \(-3\).
Имеем \(n\equiv -3\pmod{n+3}\). Поэтому \(n^2+n+1\equiv 9-3+1=7\pmod{n+3}\). Значит, \(n+3\mid7\). Отсюда \(n+3=\pm1,\pm7\), то есть \(n=-2,-4,4,-10\). Проверка обратной подстановкой подтверждает все четыре значения.
Типовая техника редукции по переменному делителю.