Задача
NT-B1-M01-P020 Ровно три делителя
#20
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что натуральное число имеет ровно \(3\) положительных делителя тогда и только тогда, когда оно является квадратом простого числа.
Используйте формулу \(\tau(n)=(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_s+1)\).
Если \(n=p^2\), где \(p\) простое, то его делители: \(1,p,p^2\), их ровно \(3\). Обратно, пусть \(n=q_1^{\alpha_1}\cdots q_s^{\alpha_s}\). Тогда \(\tau(n)=(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_s+1)=3\). Так как \(3\) простое, произведение может иметь только один множитель, равный \(3\). Значит, \(s=1\) и \(\alpha_1=2\), то есть \(n=q_1^2\), квадрат простого.
Короткое доказательство, но важное для задач на структуру числа.