Задача
NT-B1-M01-P019 Квадратная делимость
#19
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b\) - положительные целые числа. Докажите, что если \(a^2\mid b^2\), то \(a\mid b\).
Сравните показатели каждого простого числа в \(a\) и \(b\).
Пусть \(p^\alpha\) - степень простого \(p\) в разложении \(a\), а \(p^\beta\) - в разложении \(b\). Из \(a^2\mid b^2\) следует \(2\alpha\le2\beta\), значит, \(\alpha\le\beta\). Это верно для каждого простого \(p\), поэтому все простые степени числа \(a\) входят в \(b\). Следовательно, \(a\mid b\).
Задача закрепляет «координатный» взгляд на простые показатели.