NT-B1-M01-P023 Наибольший делитель \(n^5-n\)

Докажите делимость на \(2\), \(3\), \(5\), а затем подставьте \(n=2\).

По модулю \(2\) всегда \(n^5\equiv n\), значит, \(2\mid n^5-n\). По модулю \(3\) проверяем остатки \(0,1,2\): в каждом случае \(n^5\equiv n\). По модулю \(5\) также для остатков \(0,\pm1,\pm2\) получаем \(n^5\equiv n\). Значит, \(30=2\cdot3\cdot5\mid n^5-n\) для всех \(n\). С другой стороны, при \(n=2\) имеем \(2^5-2=30\), поэтому любой универсальный делитель \(m\) должен делить \(30\). Следовательно, наибольшее \(m=30\).

Смешивает делимость, остатки и идею максимальности.