Задача
NT-B1-M01-P024 Сколько угодно составных подряд
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что для любого натурального \(k\) существуют \(k\) последовательных натуральных чисел, каждое из которых составное.
Попробуйте числа \((k+1)!+2,(k+1)!+3,\ldots,(k+1)!+(k+1)\).
Рассмотрим \(k\) последовательных чисел \((k+1)!+2,(k+1)!+3,\ldots,(k+1)!+(k+1)\). Для каждого \(j=2,3,\ldots,k+1\) число \((k+1)!\) делится на \(j\). Поэтому \((k+1)!+j\) тоже делится на \(j\). При этом \((k+1)!+j>j\), значит, \(j\) является нетривиальным делителем этого числа. Следовательно, каждое из этих \(k\) чисел составное.
Уровень 5 для первой книги: конструкция с параметром и скрытой идеей факториала.