Задача
NT-B1-M02-P011 Когда НОД больше единицы
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все целые \(n\), для которых \(\gcd(n+2,n^2+3n+5)>1\).
Сведите второе выражение по модулю \(n+2\).
По модулю \(n+2\) имеем \(n\equiv -2\). Тогда \(n^2+3n+5\equiv4-6+5=3\). Следовательно, \(\gcd(n+2,n^2+3n+5)=\gcd(n+2,3)\). Он больше \(1\) тогда и только тогда, когда \(3\mid n+2\), то есть \(n\equiv1\pmod3\).
Задача уже требует не только ограничения НОД, но и точного условия.