Задача
NT-B1-M02-P022 Пары с заданными НОД и НОК
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все неупорядоченные пары положительных целых чисел \((a,b)\), для которых \(\gcd(a,b)=12\) и \(\operatorname{lcm}(a,b)=720\).
Положите \(a=12x\), \(b=12y\), где \(\gcd(x,y)=1\).
Пусть \(a=12x\), \(b=12y\), \(\gcd(x,y)=1\). Тогда \(\operatorname{lcm}(a,b)=12xy=720\), значит, \(xy=60\). Так как \(x\) и \(y\) взаимно просты, каждая простая степень из \(60=2^2\cdot3\cdot5\) целиком идет либо в \(x\), либо в \(y\). Неупорядоченные пары \((x,y)\): \((1,60)\), \((3,20)\), \((4,15)\), \((5,12)\). Поэтому пары \((a,b)\): \((12,720)\), \((36,240)\), \((48,180)\), \((60,144)\).
Очень полезная модель для задач с заданными НОД/НОК.