Задача
NT-B1-M02-P023 Кубы с обязательной делимостью
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Три положительных полных куба делятся на \(18\). Какое наименьшее значение может иметь их общий НОД?
Method inspiration: local number theory source
Если куб делится на \(2\cdot3^2\), какие минимальные показатели \(2\) и \(3\) в нем возможны?
В полном кубе все показатели простых кратны \(3\). Чтобы куб делился на \(18=2\cdot3^2\), показатель двойки должен быть хотя бы \(3\), и показатель тройки тоже хотя бы \(3\). Значит, каждый такой куб делится на \(2^3\cdot3^3=216\). Это значение достижимо: можно взять все три куба равными \(216=6^3\). Поэтому наименьший возможный НОД равен \(216\).
Задача вдохновлена локальным источником, но формулировка и решение переписаны.