Задача
NT-B1-M02-P024 Сумма и НОК
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите два положительных целых числа \(a,b\), если \(a+b=154\) и \(\operatorname{lcm}(a,b)=840\).
Method inspiration: local number theory source
Сначала докажите, что \(\gcd(a,b)=\gcd(a+b,\operatorname{lcm}(a,b))\).
Пусть \(d=\gcd(a,b)\), \(a=dx\), \(b=dy\), где \(\gcd(x,y)=1\). Тогда \(\operatorname{lcm}(a,b)=dxy\), а \(a+b=d(x+y)\). Так как \(\gcd(x+y,xy)=1\), получаем \(\gcd(a+b,\operatorname{lcm}(a,b))=d\). Значит, \(d=\gcd(154,840)=14\).
Тогда \(a=14x\), \(b=14y\), \(x+y=11\), а \(\operatorname{lcm}(a,b)=14xy=840\), то есть \(xy=60\). Числа \(x,y\) - корни уравнения \(t^2-11t+60=0\), откуда \(\{x,y\}=\{5,6\}\). Следовательно, \(\{a,b\}=\{70,84\}\).
Уровень 5 для первой книги: скрытая лемма о НОД суммы и НОК, затем восстановление чисел.