Задача
NT-B1-M03-P024 Бесконечно много чисел не являются суммой трех квадратов
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы трех квадратов целых чисел.
Рассмотрите числа вида \(8t+7\).
Из задачи о трех квадратах по модулю \(8\) следует: сумма трех квадратов не может иметь остаток \(7\) по модулю \(8\). Поэтому ни одно число вида \(8t+7\) не представляется в виде \(x^2+y^2+z^2\). Таких натуральных чисел бесконечно много: \(7,15,23,31,\ldots\). Следовательно, требуемых чисел бесконечно много.
Уровень 5 для первой книги: нужно не просто получить противоречие, а построить бесконечное семейство.