Задача
NT-B1-M03-P023 Два квадрата, делящиеся на 7
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите: если \(7\mid x^2+y^2\), то \(7\mid x\) и \(7\mid y\).
Квадраты по модулю \(7\): \(0,1,2,4\).
Квадратичные остатки по модулю \(7\): \(0,1,2,4\). Чтобы сумма двух таких остатков была \(0\), возможен только вариант \(0+0\): числа \(1,2,4\) имеют противоположные остатки \(6,5,3\), которые квадратами не являются. Значит, \(x^2\equiv0\) и \(y^2\equiv0\pmod7\), откуда \(7\mid x\) и \(7\mid y\).
Хороший пример, где надо смотреть не только таблицу, но и суммы остатков.