NT-B1-M05-P024 Сильная задача на оценку

Уравнение симметрично. Считайте \(x\ge y\) и сначала ограничьте \(x\).

Уравнение симметрично, поэтому считаем \(x\ge y\). Тогда \(x^2\le x^2+xy+y^2=x+y+30\le2x+30\). Значит, \(x^2-2x-30\le0\), откуда \(x\le6\).

Проверяем \(x=1,2,3,4,5,6\) в уравнении как квадратное относительно \(y\). При \(x=1\) получаем \(y^2=30\), нет решений. При \(x=2\): \(y^2+y-28=0\), нет целого положительного \(y\). При \(x=3\): \(y^2+2y-24=0\), \(y=4\), но это противоречит \(x\ge y\). При \(x=4\): \(y^2+3y-18=0\), \(y=3\). При \(x=5\): \(y^2+4y-10=0\), нет целого \(y\). При \(x=6\): \(y^2+5y=0\), нет положительного \(y\). Значит, при \(x\ge y\) есть только \((4,3)\). По симметрии также есть \((3,4)\). Ответ: \((4,3)\), \((3,4)\).

Уровень 5 для первой книги: ученик должен выбрать оценку, симметрию и конечный аккуратный разбор.