Задача
NT-B1-M06-P007 Иррациональность \(\sqrt{5}\)
#7
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что \(\sqrt{5}\) иррационально.
Если \(5\mid a^2\), то \(5\mid a\).
Пусть \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) в несократимом виде. Тогда \(a^2=5b^2\), откуда \(5\mid a\). Пусть \(a=5c\). Тогда \(25c^2=5b^2\), значит, \(b^2=5c^2\), и \(5\mid b\). Противоречие с несократимостью дроби.
Можно обобщить на любой простой \(p\).