Задача
NT-B1-M06-P021 Уравнение \(x^2+y^2=3xy\)
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=3xy\) не имеет положительных целых решений.
Считайте \(x>y\) и рассмотрите уравнение как квадратное относительно \(x\).
Предположим, что решение существует, и выберем решение с минимальной суммой \(x+y\). Если \(x=y\), то \(2x^2=3x^2\), невозможно. Пусть \(x>y\). Уравнение \(x^2-3xy+y^2=0\) как квадратное по \(x\) имеет второй корень \(x'=3y-x\). По Виету \(xx'=y^2\), значит, \(x'>0\), а так как \(x>y\), то \(x'=\frac{y^2}{x}
Это preview к Vieta jumping: не делаем отдельный тяжелый блок, но показываем архитектуру.