Задача
NT-B1-M07-P017 Форма Ферма \(a^p-a\)
#17
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что для любого простого \(p\) и любого целого \(a\) число \(a^p-a\) делится на \(p\).
Разберите случаи \(p\mid a\) и \(p\nmid a\).
Если \(p\mid a\), то \(a^p-a\equiv0-0\equiv0\pmod p\). Если \(p\nmid a\), то по Ферма \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\). Умножая на \(a\), получаем \(a^p\equiv a\pmod p\). В обоих случаях \(p\mid a^p-a\).
Это универсальная форма малой теоремы Ферма.