Задача
NT-B1-M09-P013 Нечетное число делителей
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что натуральное число имеет нечетное количество положительных делителей тогда и только тогда, когда оно является квадратом.
Разбейте делители на пары \(d\) и \(\frac{n}{d}\).
Если \(d\mid n\), то \(\frac{n}{d}\mid n\). Делители идут парами, кроме случая \(d=\frac{n}{d}\), то есть \(d^2=n\). Поэтому непарный делитель существует ровно тогда, когда \(n\) квадрат. Значит, число делителей нечетно ровно для квадратов.
Одна из ключевых теорем модуля.