NT-B1-M09-P024 Наименьшее с \(60\) делителями

Расположите показатели по убыванию и сравните мультипликативные разложения \(60\).

Чтобы число было минимальным, достаточно рассматривать \(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\), где \(a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\). Нужно \((a_1+1)(a_2+1)\cdots=60\). Основные кандидаты: \(2^9\cdot3^2\cdot5=23040\), \(2^5\cdot3^4\cdot5=12960\), \(2^4\cdot3^3\cdot5^2=10800\), \(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7=5040\). Варианты с одним или двумя очень большими показателями еще больше. Наименьший кандидат \(5040\), и \(\tau(5040)=\tau(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)=5\cdot3\cdot2\cdot2=60\). Ответ: \(5040\).

Сильная задача на оптимизацию, подходящая как финальная в модуле.