Задача
NT-B1-M11-P024 Длинный блок составных чисел
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что для любого \(k\ge1\) существуют \(k\) последовательных натуральных чисел, каждое из которых составное.
Попробуйте число, делящееся на все числа \(2,3,\ldots,k+1\).
Возьмём \(N=(k+1)!\). Тогда числа \(N+2,N+3,\ldots,N+k+1\) являются \(k\) последовательными числами. Для каждого \(i=2,3,\ldots,k+1\) число \(N+i\) делится на \(i\), потому что \(N\) делится на \(i\). Кроме того, \(N+i>i\), значит \(i\) — нетривиальный делитель. Поэтому все эти числа составные.
Классическая конструкция, но очень важная для олимпиадного мышления.