Задача
NT-B1-M12-P021 Вариант 5. Сумма степеней
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(n\) — нечётное натуральное число. Докажите, что \(n\mid1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n\).
Сгруппируйте \(a\) и \(n-a\).
Для каждого \(a=1,\ldots,n-1\) число \(n-a\) тоже входит в сумму. Так как \(n\) нечётно, \(a^n+(n-a)^n\equiv a^n+(-a)^n=0\pmod n\). Все слагаемые разбиваются на такие пары, значит вся сумма делится на \(n\).
Красивая задача на симметрию остатков.