Задача
NT-B2-M01-P006 НОД разностей степеней
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что для \(n>1\) выполнено \( \gcd(n^3-1,n^2-1)=n-1 \).
Вынесите \(n-1\), а затем проверьте оставшиеся множители.
Имеем \(n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\) и \(n^2-1=(n-1)(n+1)\). Поэтому НОД равен \((n-1)\gcd(n^2+n+1,n+1)\). Последний НОД равен \(1\), так как при \(n\equiv-1\) выражение \(n^2+n+1\) даёт остаток \(1\). Следовательно, весь НОД равен \(n-1\).
После вынесения общего множителя важно не потерять дополнительный возможный общий делитель.