Задача
NT-B2-M01-P008 Сумма и сумма квадратов
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \( \gcd(a,b)=1 \). Докажите, что \( \gcd(a+b,a^2+b^2) \) равен \(1\) или \(2\). Укажите, когда получается \(2\).
Рассмотрите нечётный простой делитель общего НОД.
Пусть нечётный простой \(p\) делит оба числа. Из \(a+b\equiv0\pmod p\) следует \(b\equiv-a\). Тогда \(a^2+b^2\equiv2a^2\pmod p\). Так как \(p\ne2\), получаем \(p\mid a\), а значит \(p\mid b\), что противоречит \( \gcd(a,b)=1 \). Значит, возможен только делитель \(2\). Он появляется тогда и только тогда, когда \(a+b\) и \(a^2+b^2\) чётны, то есть когда \(a,b\) оба нечётны. В этом случае \(a^2+b^2\equiv2\pmod4\), поэтому НОД ровно \(2\).
Отдельно проговорить, почему степень двойки не может быть выше первой.