NT-B2-M01-P009 Взаимно простые полиномы

Положите \(m=n+2\). Выражения станут симметричнее.

Пусть \(m=n+2\). Тогда \(n^2+3n+3=m^2-m+1\), а \(n^2+5n+7=m^2+m+1\). Их общий делитель делит разность \(2m\). Но \(m^2-m+1\) взаимно просто с \(m\), потому что по модулю \(m\) оно даёт остаток \(1\). Следовательно, общий делитель может делить только \(2\). При этом \(m^2-m+1\) всегда нечётно, поэтому общий делитель не равен \(2\). Значит, НОД равен \(1\).

Смена переменной здесь не обязательна, но делает структуру видимой.