Задача
NT-B2-M01-P013 Соседние факториалы
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \( \gcd(n!+1,(n+1)!+1)=1 \) для любого натурального \(n\).
Вычтите \((n+1)(n!+1)\) из второго числа.
Пусть \(d\) делит оба числа. Тогда \(d\mid (n+1)!+1-(n+1)(n!+1)=-n\). Значит \(d\mid n\), а тогда \(d\mid n!\). Но \(d\mid n!+1\), поэтому \(d\mid1\). Следовательно, \(d=1\).
Задача полезна перед модулем valuations: факториалы здесь работают через НОД, а не через показатели простых.