NT-B2-M01-P012 Семнадцатый остаток

Из общего делителя получите \(2n-3\), а затем устраните \(n\).

Пусть \(d\) - общий делитель. Тогда \(d\mid n(n^2+2)-(n^3+3)=2n-3\). Значит \(2n\equiv3\pmod d\). Умножим \(n^2+2\) на \(4\): получаем \(4n^2+8\equiv9+8=17\pmod d\). Поэтому \(d\mid17\). Общий делитель больше \(1\) возможен только при \(17\mid d\), то есть при \(2n\equiv3\pmod{17}\). Так как \(2^{-1}\equiv9\pmod{17}\), получаем \(n\equiv27\equiv10\pmod{17}\). Проверка подстановкой показывает, что при таких \(n\) оба выражения делятся на \(17\).

Это уже полноценная олимпиадная задача: два преобразования и проверка обратимости.