NT-B2-M01-P017 Чётные степени и сумма

По модулю \(x+y\) замените \(x\) на \(-y\). Затем отдельно разберите чётность.

Пусть \(d\) - НОД. По модулю \(x+y\) имеем \(x\equiv-y\), поэтому \(x^{2k}+y^{2k}\equiv2y^{2k}\pmod d\). Так как \( \gcd(y,x+y)=1 \), общий делитель \(d\) делит \(2\). Следовательно, возможны только \(1\) и \(2\). Если \(x,y\) оба нечётны, то \(x+y\) чётно и \(x^{2k}+y^{2k}\) чётно, значит НОД равен \(2\). Если один из них чётен, другой нечётен, то \(x+y\) нечётно, значит НОД равен \(1\).

Сложность в том, что надо доказать не только делимость на \(2\), но и отсутствие больших степеней двойки.