Задача
NT-B2-M02-P011 Простой \(3\pmod4\)
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(p\equiv3\pmod4\) - простой и \(p\mid x^2+y^2\). Докажите, что \(p\mid x\) и \(p\mid y\).
Если \(p\nmid y\), разделите сравнение на \(y^2\).
Предположим, что \(p\nmid y\). Тогда существует \(y^{-1}\pmod p\), и из \(x^2+y^2\equiv0\) получаем \((xy^{-1})^2\equiv-1\pmod p\). Но для простого \(p\equiv3\pmod4\) число \(-1\) не является квадратом. Противоречие. Значит, \(p\mid y\), а тогда из \(p\mid x^2+y^2\) следует \(p\mid x^2\), то есть \(p\mid x\).
Это основная лемма для теоремы о сумме двух квадратов.