Задача
NT-B2-M02-P010 Простой делитель \(a^2+1\)
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть нечётный простой \(p\mid a^2+1\). Докажите, что \(p\equiv1\pmod4\).
Из \(a^2\equiv-1\pmod p\) получите элемент порядка \(4\).
Так как \(p\mid a^2+1\), имеем \(a^2\equiv-1\pmod p\). При этом \(p\nmid a\). Тогда \(a^4\equiv1\), но \(a^2\not\equiv1\). Значит, порядок \(a\) по модулю \(p\) равен \(4\). Порядок элемента делит \(p-1\), поэтому \(4\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod4\).
Если порядок ещё не изучен, можно пометить как preview к модулю Orders.