Задача
NT-B2-M02-P020 Общий descent для \(p\equiv3\pmod4\)
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\equiv3\pmod4\) - простой. Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=pz^2\) имеет только нулевое решение в целых числах.
Сначала докажите, что \(p\mid x\) и \(p\mid y\), затем получите \(p\mid z\).
Из уравнения следует \(p\mid x^2+y^2\). По лемме для простых \(p\equiv3\pmod4\) получаем \(p\mid x\) и \(p\mid y\). Тогда \(p^2\mid x^2+y^2=pz^2\), значит \(p\mid z\). Делим \(x,y,z\) на \(p\) и получаем новое целое решение меньшего размера. Если существовало ненулевое решение, повторение дало бы бесконечный спуск. Следовательно, ненулевых решений нет, и единственное решение - \(x=y=z=0\).
Завершающая задача показывает, как модульное препятствие становится полноценным методом спуска.