Задача
NT-B2-M02-P019 Чётность показателя
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите: если \(N=x^2+y^2\), то каждый простой делитель \(p\equiv3\pmod4\) входит в разложение \(N\) в чётной степени.
Используйте лемму: такой простой, делящий сумму двух квадратов, делит оба числа.
Пусть \(p\equiv3\pmod4\) и \(p\mid x^2+y^2\). По лемме \(p\mid x\) и \(p\mid y\), значит \(x=px_1\), \(y=py_1\). Тогда \(N=p^2(x_1^2+y_1^2)\). Если \(p\) снова делит \(x_1^2+y_1^2\), повторяем тот же шаг. Каждый раз показатель \(p\) уменьшается на \(2\). Поэтому в \(N\) показатель \(p\) может быть только чётным.
Это сильный результат, но доказательство доступно после одной ключевой леммы.