Задача
NT-B2-M03-P010 Порядок три
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(p\) - простой, \(p\nmid a\), и \(p\mid a^2+a+1\). Докажите, что \(p=3\) или \(p\equiv1\pmod3\).
Умножьте \(a^2+a+1\) на \(a-1\).
Из \(a^2+a+1\equiv0\pmod p\) получаем \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\equiv0\pmod p\). Если \(a\equiv1\pmod p\), то \(3\equiv0\pmod p\), значит \(p=3\). Если \(a\not\equiv1\), то порядок \(a\) равен \(3\), поэтому \(3\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod3\).
Это повторяет идею формы \(a^2+ab+b^2\), но в однопеременной форме.