Задача
NT-B2-M03-P014 Общий факт для плюса
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(p\) - нечётный простой, \(p\nmid a\), и \(p\mid a^n+1\). Докажите, что \( \operatorname{ord}_p(a) \) делит \(2n\), но не делит \(n\).
Переведите условие в \(a^n\equiv-1\pmod p\).
Из \(p\mid a^n+1\) следует \(a^n\equiv-1\pmod p\). Тогда \(a^{2n}\equiv1\), поэтому порядок делит \(2n\). Если бы порядок делил \(n\), то было бы \(a^n\equiv1\pmod p\), что противоречит \(a^n\equiv-1\pmod p\), так как \(p\) нечётно.
Этот факт будет постоянно использоваться в задачах \(a^n+1\).