Задача
NT-B2-M03-P020 Скрытый порядок
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\) - нечётный простой, \(p\nmid a\), и \(p\mid a^6-1\), но \(p\nmid a^3-1\) и \(p\nmid a^2-1\). Докажите, что \(p\equiv1\pmod6\).
Определите порядок \(a\) по модулю \(p\).
Пусть \(d=\operatorname{ord}_p(a)\). Из \(a^6\equiv1\pmod p\) следует \(d\mid6\). Условия \(p\nmid a^3-1\) и \(p\nmid a^2-1\) означают, что \(d\nmid3\) и \(d\nmid2\). Среди делителей \(6\) только \(6\) не делит ни \(2\), ни \(3\). Значит, \(d=6\). Порядок по простому модулю делит \(p-1\), поэтому \(6\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod6\).
Финальная задача проверяет, умеет ли ученик восстановить порядок из отрицательных условий.