NT-B2-M03-P019 Бесконечно много простых \(1\pmod{2^k}\)

Используйте простые делители чисел \(2^{2^n}+1\) при \(n\ge k-1\).

Возьмём \(F_n=2^{2^n}+1\) для \(n\ge k-1\). Любой простой делитель \(q\) числа \(F_n\) нечётен и по ферматовой лемме удовлетворяет \(q\equiv1\pmod{2^{n+1}}\), значит тем более \(q\equiv1\pmod{2^k}\). Числа \(F_n\) попарно взаимно просты, поэтому их простые делители при разных \(n\) не повторяются. Следовательно, таких простых бесконечно много.

Это сильная challenge-задача: она соединяет две предыдущие идеи в конструктивное доказательство бесконечности.