Задача
NT-B2-M05-P017 Подряд идущие числа
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что произведение любых \(n\) последовательных целых чисел делится на \(n!\).
Докажите неравенство \(v_p(A)\ge v_p(n!)\) для каждого простого \(p\).
Пусть \(A=(m+1)(m+2)\cdots(m+n)\). Среди этих \(n\) чисел не меньше \(\lfloor n/p\rfloor\) кратны \(p\), не меньше \(\lfloor n/p^2\rfloor\) кратны \(p^2\), и так далее. Поэтому \(v_p(A)\ge\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p^2\rfloor+\cdots=v_p(n!)\). Это верно для каждого простого \(p\), значит \(n!\mid A\).
Олимпиадное доказательство через все простые одновременно.