NT-B2-M05-P016 Центральный коэффициент чётен

Пусть \(2^t\) - наибольшая степень двойки, делящая \(n\). Посмотрите на слагаемое формулы Лежандра с \(2^{t+1}\).

Нужно доказать, что \(v_2((2n)!)-2v_2(n!)>0\). Пусть \(n=2^t u\), где \(u\) нечётно. В сумме Лежандра рассмотрим слагаемое \(2^{t+1}\): \(\lfloor2n/2^{t+1}\rfloor-2\lfloor n/2^{t+1}\rfloor=\lfloor u\rfloor-2\lfloor u/2\rfloor=1\). Остальные слагаемые неотрицательны, значит \(v_2\left(\binom{2n}{n}\right)\ge1\).

Сильная задача: нужно не вычислять, а найти одно положительное слагаемое.