Задача
NT-B2-M05-P020 Невозможная делимость
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что \(n!\) не делится на \(3^n\) ни при каком натуральном \(n\).
Оцените \(v_3(n!)\) сверху суммой \(n/3+n/9+\cdots\).
По Лежандру \(v_3(n!)=\lfloor n/3\rfloor+\lfloor n/9\rfloor+\cdots\). Эта сумма строго меньше \(n/3+n/9+\cdots=n/2\), а значит тем более меньше \(n\). Поэтому \(v_3(n!)
Завершает модуль оценкой valuation без точного вычисления.