Задача
NT-B2-M06-P014 Гарантированная делимость
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(p\) - нечётный простой, \(p\mid a-b\), \(p\nmid ab\). Докажите, что \(p^r\mid a^{p^{r-1}}-b^{p^{r-1}}\) для любого \(r\ge1\).
Примените LTE к показателю \(p^{r-1}\).
По LTE \(v_p(a^{p^{r-1}}-b^{p^{r-1}})=v_p(a-b)+v_p(p^{r-1})\). Так как \(p\mid a-b\), первое слагаемое не меньше \(1\), а второе равно \(r-1\). Итого показатель не меньше \(r\), значит делимость на \(p^r\) доказана.
Показывает силу LTE как доказательного инструмента.