NT-B2-M07-P013 Три единичные дроби

Сначала получите \(x\le 3\). Затем для каждого \(x\) решайте уравнение с двумя дробями.

Так как \(x\le y\le z\), то \(1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le \frac{3}{x}\), значит \(x\le 3\). При \(x=1\) оставшаяся сумма равна \(0\), невозможно. При \(x=2\) получаем \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\), то есть \((y-2)(z-2)=4\). С учётом \(y\le z\): \((y,z)=(3,6),(4,4)\). При \(x=3\) получаем \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\). Так как \(y\ge 3\), максимум левой части равен \(\frac{2}{3}\), значит \(y=z=3\). Ответ: \((2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\).

Классическая комбинация оценки и факторизации; полезно требовать порядок \(x\le y\le z\).