Задача
NT-B2-M07-P017 Блок последовательных чисел
Докажите, что для каждого целого \(N>2\) можно выбрать \(N\) последовательных положительных чисел так, чтобы их произведение делилось на каждое простое число \(p\le 2N+1\).
Разберите два случая: \(N+1\) составное и \(N+1\) простое. Вспомните, что любое простое \(p\le N\) делит произведение \(N\) последовательных чисел.
Если \(N+1\) составное, берём блок \(N+2,N+3,\ldots,2N+1\). Любое простое \(p\le N\) делит произведение любых \(N\) последовательных чисел, потому что среди них есть число, кратное \(p\). Простые числа \(p\) из промежутка \(N+2\le p\le 2N+1\) входят в блок как отдельные множители. Число \(N+1\) не является простым, значит простых в пропущенной точке нет.
Если \(N+1\) простое, берём блок \(N+3,N+4,\ldots,2N+2\). Простые \(p\le N\) снова покрыты блоком длины \(N\). Простое \(N+1\) делит последний член \(2N+2=2(N+1)\). Число \(N+2\) не является простым: если \(N+1\) простое и больше \(3\), то \(N+1\) нечётно, значит \(N+2\) чётно и больше \(2\); случай \(N=2\) исключён условием. Простые \(p\) между \(N+3\) и \(2N+1\) входят в блок. Значит нужный блок существует в обоих случаях.
Источник использован только как методическая архитектура: покрытие простых чисел блоком и разбор случая \(N+1\).