Задача
NT-B2-M07-P016 Сильная оценка делимости
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все положительные целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2+y^2\mid xy+1\).
Сравните размеры \(x^2+y^2\) и \(xy+1\). Отдельно проверьте малые значения.
Если \(x,y\ge 2\), то \(x^2+y^2-xy-1=(x-y)^2+xy-1\ge 3>0\), значит \(x^2+y^2>xy+1\). Тогда делимость невозможна, потому что положительный делитель больше положительного числа. Если \(x=1\), условие даёт \(1+y^2\mid y+1\), что возможно только при \(y=1\). Аналогично при \(y=1\). Пара \((1,1)\) действительно подходит: \(2\mid 2\). Ответ: \((1,1)\).
Хороший пример, где оценка полностью заменяет перебор.