Задача
NT-B2-M07-P019 Куб против квадрата
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все положительные целые \(n\), такие что \(n^2+3n+3\mid n^3-1\).
Сведите \(n^3-1\) по модулю \(n^2+3n+3\), а затем сравните размеры.
Пусть \(D=n^2+3n+3\). Из \(n^2\equiv -3n-3\pmod D\) получаем \(n^3\equiv -3n^2-3n\equiv 9n+9-3n=6n+9\pmod D\). Поэтому \(n^3-1\equiv 6n+8\pmod D\), и \(D\mid 6n+8\). Для \(n\ge 5\) имеем \(D=n^2+3n+3>6n+8\), что невозможно. Проверяем \(n=1,2,3,4\): при \(n=1\) получаем \(7\mid 0\), подходит; при \(n=2,3,4\) делимости нет. Ответ: \(n=1\).
Метод: уменьшение степени по модулю переменного делителя плюс финальная оценка.