Задача
NT-B2-M07-P020 Ещё одна сумма трёх дробей
Найдите все тройки положительных целых чисел \(x\le y\le z\), для которых \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\).
Сначала получите \(x\le 4\). Затем отдельно разберите \(x=2,3,4\).
Из порядка \(x\le y\le z\) следует \(\frac{3}{x}\ge \frac{2}{3}\), значит \(x\le 4\). \(x=1\) невозможен, так как \(\frac{1}{x}=1>\frac{2}{3}\).
При \(x=2\): \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}\), поэтому \((y-6)(z-6)=36\). С учётом \(y\le z\): \((y,z)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)\).
При \(x=3\): \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\), поэтому \((y-3)(z-3)=9\). Получаем \((y,z)=(4,12),(6,6)\).
При \(x=4\): \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{12}\). Умножение и дополнение дают \((5y-12)(5z-12)=144\). Нужно \(y\ge 4\), \(y\le z\), значит \(5y-12\le 12\) и этот делитель сравним с \(3\) по модулю \(5\). Среди делителей \(144\), не превосходящих \(12\), подходят \(3\) и \(8\); \(3\) даёт \(y=3\), что нельзя, а \(8\) даёт \(y=4,z=6\). Ответ: \((2,7,42),(2,8,24),(2,9,18),(2,10,15),(2,12,12),(3,4,12),(3,6,6),(4,4,6)\).
Сложность в аккуратной работе с дробью \(\frac{5}{12}\), где факторизация имеет вид \((5y-12)(5z-12)\).