Задача
NT-B2-M08-P005 Нет примитивного решения
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=4z^2\) не имеет решений с \(\gcd(x,y,z)=1\).
Сравните по модулю \(4\).
Правая часть делится на \(4\). Квадрат по модулю \(4\) равен \(0\) или \(1\). Чтобы \(x^2+y^2\equiv 0\pmod 4\), оба квадрата должны быть \(0\), значит \(x,y\) чётны. Тогда \(4\mid x^2+y^2\) и после деления получаем \(z^2=(x/2)^2+(y/2)^2\), но главное уже достаточно: \(x,y\) имеют общий делитель \(2\), поэтому решение не может быть примитивным.
Это мягкая подготовка к “выносу общего делителя”.