Задача
NT-B2-M08-P004 Сумма квадратов и модуль \(7\)
#4
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=7z^2\) не имеет ненулевых целых решений.
Квадраты по модулю \(7\): \(0,1,2,4\). Какие две такие величины дают \(0\)?
Квадраты по модулю \(7\) равны \(0,1,2,4\). Сумма двух таких остатков может быть \(0\) по модулю \(7\) только если оба остатка равны \(0\). Значит \(7\mid x\) и \(7\mid y\). Тогда \(49\mid x^2+y^2\), откуда \(7\mid z\). Деление всех переменных на \(7\) даёт меньшее решение, что невозможно.
Хорошая задача на самостоятельное составление таблицы квадратов.